9月23日消息,一份针对 Erdős 第 993 号问题的部分证明本周出现在一个自建的交接页面上,附有验证代码。发布者称,结果来自与 Codex(GPT-6)协作一个月的工作;先挂出来,是防第 993 号问题位列 OpenAI 刚宣布的那批成果之中。OpenAI 此前表示,其一个模型已解决 100 多个开放数学问题,结果要等数学社区核验后才会公布。
OpenAI 的 100 多道题:宣称已解决,发布要等核验
9月21日,Terence Tao 的博客刊出一篇宣布文章:数学与人工智能顾问小组(Advisory Group on Mathematics and Artificial Intelligence,AGMAI)成立,挂靠普林斯顿高等研究院。博客页面标记的参与成员包括 Edward Witten、Timothy Gowers、Martin Hairer、Melanie Matchett Wood 等数学家。次日,Business Standard 等媒体报道了 OpenAI 给出的成绩单:一个 8月28日才开始训练的模型,已解决 100 多个长期悬置的开放数学问题,覆盖数学的大多数领域。OpenAI 表示这批结果要等数学社区核验后才会发布,目前没有时间表。
OpenAI 的数学宣称此前已经引发过一轮争议。9月8日,《纽约时报》与《卫报》报道该公司宣称解决了千禧年奖版本的 Navier–Stokes 问题,《卫报》转述的细节称,整个过程动用约 1 万个 AI 实例、耗时 88 小时。这一宣称目前同样没有独立核验结果。9月11日起,数学社区的异议公开化:Tao 的博客先后出现题为《AI 在数学中的严重错位》的批评文章,以及 9月19日 Po-Shen Loh 撰写的《我们为什么还需要数学家》一文。
先升后降 39 年:Erdős 第 993 号问题
猜想由 Alavi、Malde、Schwenk 与 Erdős 于1987年提出:每一棵树的独立集序列都是单峰的。独立集是图中两两不相邻的顶点组成的集合;一棵树里规模为 0、1、2 等各个规模的独立集各有多少个,按规模排成一列,就是独立集序列。单峰的意思是这列数字先不降、后不升。
39 年过去,这个猜想在 Thomas Bloom 维护的 Erdős 问题目录中编号第 993,仍然没有证明;规模较小的树已被计算机逐一验证,但一般情形的证明至今没有出现。森林的版本也没有完整答案。
两项候选贡献:显式阈值与更尖锐的均值界
这份交接页列出两项候选贡献,均属未经同行评审的自发布主张,完整证明、逐步验证与代码都挂在页面上。
第一项针对「叶节点足够多」的情形。任取一个有限图作为核心,在顶点上以任意分布添加叶节点,也就是只连一条边的顶点。按交接页给出的定理,当叶节点总数满足 L ≥ 32768(h+1)²(h 为核心顶点数)时,整个图的独立集序列单峰,峰值位置落在一段可以显式算出的区间内。发布者称,这是首个对任意叶分布、任意核心(包括非树结构)成立的显式统一界:2018年,Galvin 与 Hilyard 在《Australasian Journal of Combinatorics》上证明过相关树族的单峰性,但按发布者的表征,其覆盖限于叶节点均等附着或单一附着点的情形,且没有给出显式阈值。
第二项是关于随机独立集的均值引理:在逸度 17/5 的 hard-core 模型下,随机独立集的期望规模超过独立数的三分之二。逸度刻画随机抽取独立集时偏向大规模集合的程度,独立数则是最大独立集的规模。发布者称,这是对一篇本月预印本的锐化:9月17日,Fang、Lu、Nevo、Yao 与 Zheng 在 arXiv 提交论文(编号 2609.20961),证明存在某个绝对常数 N₀,使顶点数不少于 N₀ 的森林独立集序列都单峰,但这个 N₀ 是非构造性的,论文没有给出它的具体数值。
未经评审的自发布:这份成果的边界
交接页托管在 chatgpt.site 的子域名下。这个域名是 OpenAI 为 ChatGPT Sites 建站功能保留的托管域名,页面内容属发布者个人,与 OpenAI 官方无关。
页面自己的表述是:正确性与优先权的外部复核仍待完成,欢迎指正与提供先行工作线索。两项数学主张目前没有任何第三方评审;Galvin 与 Hilyard 2018年的论文和 Fang 等人 9月17日的预印本都查得到原文,但「本结果相对它们的改进幅度」目前只是发布者的表征。发布者身份目前没有公开,也没有第三方报道。
关于动机,发布者写道:热爱数学,但没有足够的算力,只要 OpenAI 或 Anthropic 的某位研究人员多分配几块 GPU,这个问题很可能就会被解决。把结果先挂出来加上时间戳,是为了防第 993 号问题位列 OpenAI 那批待核验的成果之中。
一批成果等核验,一份证明抢时间戳
同一周里,AI 数学研究出现了两种发布节奏。OpenAI 把 100 多个解法压在核验环节之后,顾问小组的成立等于把核验制度化;这名研究者则不等任何机构,用自建页面、显式阈值和可复现代码为部分结果占住优先权。数学社区要处理的待核验材料,由此从两端同时增加:一端是批量的、有机构背书的宣称,另一端是身份未公开的自发布证明。
目前,OpenAI 没有给出那 100 多个结果的发布时间表,交接页上的两项主张也在等第一位外部复核者。